若f(x)是连续的奇函数,试证明∫f(cost)dt=0(上限为nπ+π,下限为nπ)

题目

若f(x)是连续的奇函数,试证明∫f(cost)dt=0(上限为nπ+π,下限为nπ)

答案

cost=u -sintdt=du
∫f(cost)dt= ±∫(cosnπ,cos( nπ+π) f(u)/√(1-u^2)du
由于后面积分中,被积函数f(u)/√(1-u^2)是奇函数,积分区间为1和-1构成的对称区间,故积分=0