已知p是奇质数,1+1/2+1/3+…+1/p-1=a/b,求证：分子a能被p整除

题目

已知p是奇质数,1+1/2+1/3+…+1/p-1=a/b,求证：分子a能被p整除
数学归纳法显然不行，因为这里P是质数，一个质数到下一个质数是没什么规律的，比如质数7的下一个质数是11，再下一个是11，再下一个是13，接着是17，再就是23，因此即使假定P时成立，那下一个质数该假定是几呢？难道是P+1，显然错误，P是奇数，P+1就是偶数，自然不再是质数了。

答案

对左边通分,公分母为：1*2*3*……*(p-1)
∵p>p-1且p为质数
∴公分母1*2*3*……*(p-1)不是p的倍数
左边首尾相加得：
1+1/(p-1)=p/(p-1)
1/2+1/(p-2)=p/2(p-2)
1/3+1/(p-3)=P/3(p-3)
1/n+1/(p-n)=P/n(p-n)
由于1*2*3*……*(p-1)为偶数项,可以两两配对
故作边相加所得分子必为p的倍数
又∵左边=a/b,(a,b)=1
∴p∣a