四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,求证：BD²=AD²+CD²

题目

四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,求证：BD²=AD²+CD²

答案

证明：如图,连接AC,
∵AD=CD,∠ADC=60°,
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置,连接EB,
∴DB=AE,CB=CE,∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°,
∴△CBE为正三角形．
∴BE=BC,∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2=AB2+BE2．
∴BD2=AB2+BC2．