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题目

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已知数列an中,a1小于a2小于a3,a1.a2.a3为连续的三个自然数,且以a1,a2,a3为三边的直角三角形.
若an+3 = an （n+3是底下的系数）
求an 前n项 以及 Sn

答案

,a1.a2.a3为连续的三个自然数
则a1=a2-1
a3=a2+1
以a1,a2,a3为三边的直角三角形
显然a3为斜边
则(a2-1)^2+a2^2=(a2+1)^2
解得a2=0或a2=4
但a2=0时,a1=-1不是自然数
所以a2=4
a1=3, a3=5
an+3=an
则a4=a1=3
a5=a2=4
a6=a3=5
设k为正整数
则当n=3k-2时, an=3
n=3k-1时,an=4
n=3k时, an=5
n=3k-2时,k=(n+2)/3
Sn=(k-1)*(3+4+5)+3=12k-9=4(n+2)-9=4n-1
当n=3k-1时,k=(n+1)/3
Sn=(k-1)*(3+4+5)+3+4=12k-5=4(n+1)-5=4n-1
当n=3k时, k=n/3
Sn=k(3+4+5)=12k=4n
综上
当n=3k-2时, an=3 ,Sn=4n-1
n=3k-1时,an=4, Sn=4n-1
n=3k时, an=5, Sn=4n (其中k为正整数)