已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(  ) A.233 B.433 C.23 D.833

已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(  ) A.233 B.433 C.23 D.833

题目
已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(  )
A.
2
3
3

B.
4
3
3

C. 2
3

D.
8
3
3
答案
过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,
则有V四面体ABCD
1
3
×2×
1
2
×2×h=
2
3
h

当直径通过AB与CD的中点时,hmax=2
2212
=2
3
,故Vmax
4
3
3

故选B.
四面体ABCD的体积的最大值,AB与CD是对棱,必须垂直,确定球心的位置,即可求出体积的最大值.

棱柱、棱锥、棱台的体积;球的性质.

本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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