过点p（4,2）作圆x^2+y^2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

题目

过点p（4,2）作圆x^2+y^2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为
过点p（4,2）作圆x^2+y^2=4的两条切线,切点分别为A,B,
O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

答案

先求切点.设切点Q(x,y),则由于切线垂直于过切点的半径,应用勾股定理：PQ^2+OQ^2=OP^2,即(x-4)^2+(y-2)^2+x^2+y^2=20,化简得：x^2-4x+y^2-2y=0,又Q在圆周上,即x^2+y^2=4,代入方程1并化简得：y=2-2x,代入圆方程并解得：x1=0,x2=8/5.
于是,不妨设A(0,2)、B(8/5,-6/5),又O(0,0).
求圆心：圆心为OA中垂线和OB中垂线的交点.
OA中垂线：显然为y=1.
OB中垂线：
OB中点：M(4/5,-3/5),直线OB斜率：k=-3/4,故OB中垂线斜率k'=-1/k=4/3.
列直线点斜式方程：y+3/5=4/3(x-4/5),化简得：3y+5=4x,与y=1联立方程组得：x=2,y=1
故圆心O'(2,1),由于过原点,故半径平方r^2=O'O^2=5,故方程：(x-2)^2+(y-1)^2=5