已知椭圆x²/2 +y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M,N两点,求弦MN中点的轨迹方程
题目
已知椭圆x²/2 +y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M,N两点,求弦MN中点的轨迹方程
答案
(法一)设过P(2,1)点的直线为y-1=k(x-2)
联立x²/2 +y²=1 ①
y-1=k(x-2) ②
②代入 ①得
x² +2(k(x-2) +1 )²=2
化简得 (1+ 2k²) x² +4k(1-2k)x+8²-8=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)
x1+x2=-4k(1-2k)/ (1+ 2k²)=4
解得k=-1所以直线为y-1=-(x-2)
即x+y-3=0
(法二)设A(x1,y1)B(x2,y2)
则有 x1²/2 +y1²=1 ①
x2²/2 +y2²=1 =3 ②
①-②得:
(x1²-x2² )/2= -(y1²-y2²)
(x1 -x2 )(x1+x2)/2=-(y 1 - y 2 )(y 1+ y 2)
-(x1+x2)/2(y 1+ y 2)=(y 1 - y 2 )/(x1 -x2 )=k
因为P(2,1)为中点,则
x1+x2=4
y 1+ y 2=2
所以k=-1所以直线为y-1=-(x-2)
即x+y-3=0
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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