~~高中数学 ~~~解析几何一道

题目

~~高中数学 ~~~解析几何一道
过直线L： X+Y=2 与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴,点P的坐标为（-2,4）P在L上,若PA、AB、PB的长度成等比数列,试求抛物线C的方程.

答案

依题意：设直线与抛物线交于A B点,易知A在上侧（第1象限） B在下侧（第4象限）
我们过P作X轴垂线,再过B点作Y轴垂线 在第3象限交于C点 过A作PC垂线交PC于D点
因为：PA,AB,PB成等比数列 也就是说：
PA AB
—— = —— ★
AB PB
在刚才的图中,设A为(X1,Y1) 设B为（X2,Y2）
由★式有：PA/AB=PD/CD= 4-Y1/Y1-Y2
且：AB/PB=Y1-Y2/4-Y2
所以：（Y1-Y2）^2=（4-Y1)(4-Y2) ☆
将☆式化简,把(Y1-Y2)^2化为和的形式：
得到：(Y1+Y2)^2=16-4(Y1+Y2)+5Y1Y2 ▲
接下来 设抛物线Y^2=px 并与直线X+Y=2联立 消去X
得：Y^2+PY-2P=0
由韦达定理：
Y1+Y2=-P
Y1Y2=-2P
代入▲ 式 求出P=2或-8
显然-8不合题意,舍去
所以抛物线为 Y^2=2X