在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．

题目

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．

答案

如图，分别取AP、BP的中点M、N，并连接EM、DM、FN、DN．
根据三角形中位线定理可得：DM∥BP，DM=

1

2

BP=BN，DN∥AP，DN=

1

2

AP=AM，
∴∠AMD=∠APB=∠BND，
∵M、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，
∴EM=AM=DN，FN=BN=DM，
已知DE=DF，
∴△DEM≌△FDN（SSS），
∴∠EMD=∠FND，
∴∠AME=∠BNF，
∴△AME、△BNF为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PAE=∠PBF．