如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是 _ 形．

题目

如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是 ___ 形．

答案

证明：连接AC和BD．
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且PQ=

1

2

AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ
同理MQ∥BD，且MQ=

1

2

BD，PN∥BD，且PN=

1

2

BD，
∴MQ∥PN，MQ=PN
∴四边形PQMN是平行四边形．
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴AE=AD=DE，EC=EB=BC，∠DEA=∠CEB=60°，
∴∠AEC=∠DEB=60°+∠DEC=120°，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵MN=

1

2

AC，MQ=

1

2

BD，
∴MN=MQ，
∴四边形PQMN是菱形．