已知直角三角形两直角边长分别为l、m,斜边为n,且l、m、n均为正整数,l为质数 求证:2(l+m+n)是完全平方数
题目
已知直角三角形两直角边长分别为l、m,斜边为n,且l、m、n均为正整数,l为质数 求证:2(l+m+n)是完全平方数
答案
∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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