设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA OB（O为原点）,求|AB|的最大值与最小值.

题目

设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA OB（O为原点）,求|AB|的最大值与最小值.

答案

圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA 垂直于OB（O为原点）,求|AB|的最大值与最小值.
椭圆方程为x^2/1+y^2/(1/3)=1,可设椭圆上动点的参数表达式A(cosa,√3/3*sina),B(cos(a+π/2),√3/3*sin(a+π/2)),也即A(cosa,√3/3*sina),B(-sina,√3/3*cosa).于是
|AB|=√[(cosa+sina)^2+(√3/3*sina-√3/3*cosa)^2]=√[1+2sinacosa+1/3-2*√3/3*sina*√3/3*cosa]
=√[4/3+2/3*sin2a]
故最大值为√[4/3+2/3]=√2,最小值为√[4/3-2/3]=√6/3