如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC1=2,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是_.
题目
如图,在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC
1=
,P是BC
1上一动点,则CP+PA
1的最小值是______.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6159252dd42a2834e99f70bf58b5c9ea15cebf4d.jpg)
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d01373f082025aaf88638a7af8edab64034f1a29.jpg)
连A
1B,沿BC
1将△CBC
1展开与△A
1BC
1在同一个平面内,如图所示,
连A
1C,则A
1C的长度就是所求的最小值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc48f2982288126cffc1e171629.jpg)
通过计算可得AB=
,
在△A
1B
1B中,A
1B
1⊥B
1B,A
1B
1=
,BB
1=
,
∴A
1B=6又∠BC
1C=45°,BC
1=2,
可求得A
1C=1+
故答案为:1+
连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线.(在BC1上取一点与A1C构成三角形,因为三角形两边和大于第三边)由余弦定理即可求解.
棱柱的结构特征;余弦定理的应用.
本题考查棱柱的结构特征,余弦定理的应用,是中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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