如图,等边△ABC内接于⊙O,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合),连AP,BP,过C作CM∥BP交PA的延长线于点M, (1)求证:△PCM为等边三角形; (2)若PA=1,PB=2,求梯形PB

如图,等边△ABC内接于⊙O,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合),连AP,BP,过C作CM∥BP交PA的延长线于点M, (1)求证:△PCM为等边三角形; (2)若PA=1,PB=2,求梯形PB

题目
如图,等边△ABC内接于⊙O,P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合),连AP,BP,过C作CM∥BP交PA的延长线于点M,

(1)求证:△PCM为等边三角形;
(2)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.
答案
(1)证明:作PH⊥CM于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠APC=∠ABC=60°,
∠BAC=∠BPC=60°,
∵CM∥BP,
∴∠BPC=∠PCM=60°,
∴△PCM为等边三角形;
(2)∵△ABC是等边三角形,△PCM为等边三角形,
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA,
∴∠BCP=∠ACM,
在△BCP和△ACM中,
BC=AC
∠BCP=∠ACM
CP=CM

∴△BCP≌△ACM(SAS),
∴PB=AM,
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,
在Rt△PMH中,∠MPH=30°,
∴PH=
3
2
3

∴S梯形PBCM=
1
2
(PB+CM)×PH=
1
2
×(2+3)×
3
3
2
=
15
4
3
(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角,进而判定△PCM为等边三角形;
(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等,进而利用△PCM为等边三角形,进而求得PH的长,利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.

三角形的外接圆与外心;等边三角形的判定与性质;梯形.

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法,是一道比较复杂的几何综合题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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