已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫01f(x)dx=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
题目
已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫01f(x)dx=-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
答案
(1)设f(x)=ax
2+bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b.
由f(-1)=2,f′(0)=0得
即
∴f(x)=ax
2+(2-a).
又∫
01f(x)dx=∫
01[ax
2+(2-a)]dx
=[
ax
3+(2-a)x]|
01=2-
a=-2,
∴a=6,∴c=-4.
从而f(x)=6x
2-4.
(2)∵f(x)=6x
2-4,x∈[-1,1],
所以当x=0时f(x)
min=-4;
当x=±1时,f(x)
max=2.
(1)先利用待定系数法设出二次函数,根据条件建立三个方程,求出参数即可.
(2)本题是二次函数在闭区间上求最值,通常从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间;开口向上,对称轴为x=0,故在对称轴处取最小值,在±1处取最大值.
定积分;函数的最值及其几何意义.
本题主要考查了定积分,以及函数的最值及集合意义,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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