P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上一点,F为它的一个焦点,证明以PF为直径的圆与长轴为直径的圆相切

题目

P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上一点,F为它的一个焦点,证明以PF为直径的圆与长轴为直径的圆相切

答案

设E为另一焦点,PF的中点为A,由于O是长轴的中点,所以OA=1/2PE,根据三角形两边之和大于第三边的原理,圆上任意一点B与O点的距离小于等于OA+AB,即小于等于1/2PE+1/2PF=a,而且只有当O,A,B位于一条直线上时,才有OB=a,即等...