已知圆C:x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0,求证：无论m为何值,圆心都在同一条直线上

题目

已知圆C:x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0,求证：无论m为何值,圆心都在同一条直线上
第二问：设直线的方程为x-3y+2=0,求证：L与圆C相交所得弦长为定值.

答案

1、就是个化简
x^2-6mx+(3m)^2+y^2-2(m-1)y+(m-1)^2-9m^2-m^2+2m-1+10m^2-2m-24=0
(x-3m)^2+[(y-(m-1)]^2=5^2
圆心(3m,m+1)
m=0,xo=0,yo=1
任意m',xom'=3m',yom'=m'+1
(yom'-yo)/(xom'-xo)=m'/3m'=1/3=常数
即,圆心始终在直线y-1=x/3上
2、
y=(x+2)/3,L//圆心所在直线方程
L与y=1+x/3的距离=常数=|0-3*1+2|/√10=√10/10
圆的半径不变
弦长=2√（5^2-1/10）=2√（249/10）