对于多元函数 在某点的偏导数存在且连续 则在该点可微分.它的逆命题成立吗?

对于多元函数 在某点的偏导数存在且连续 则在该点可微分.它的逆命题成立吗?

题目
对于多元函数 在某点的偏导数存在且连续 则在该点可微分.它的逆命题成立吗?
答案
逆命题不成立,反例是:f(x,y) = 0,当x是无理数;f(x,y)= x^2,当x是无理数.可以验证,f(x,y)在(0,0)点处可微分,但偏导数仅在(0,0)点以外的地方都不在,更不用说连续了.
但是以下命题是成立的:多元函数在某点处可微分,则各个偏导数在该点存在.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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