将f(X)=e^x展开成x的幂级数

题目

将f(X)=e^x展开成x的幂级数

答案

∵f（x）=ex,
∴f′（x）=f″（x）=.=f^n（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=.=f^n（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1,2）
所以函数ex可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!