探索多边形的内角和与外角和的问题.

题目

探索多边形的内角和与外角和的问题.
正多边形的每一个内角与外角的比为3:1,则其边数是____
正n边形的一个内角与正2n边形的一个内角的和等于270°,则n为____
一个多边形切去一个角后,形成另一个多边形内角为2520°,则原多边形的边数是___
一个多边形的内角和与他的一个外角的和为570°,这个多边形的边数为____

答案

1.外角是45度,所以正多边形每边对应的其外接圆的圆心角也是45度.所以边数为360/45=8.
2.设正n边形每边对应的其外接圆的圆心角是x度,其内角是180-x度.所以,正2n边形每边对应的其外接圆的圆心角是x/2度,其内角是180-x/2度.依题意,（180-x）+（180-x/2）=270.所以,x=60,n=360/6=6.
3.n边形切去一角后变成n+1边形,内角和为180（n-1）=2520.所以,n=15.
4.多边形内角和为180(n-2),是180的倍数,外角小于180.570/180余数是30,所以多边形内角和为540.可知,边数n=5.