已知数列{an}满足a1=3 an*a(n-1)=2a(n-1)-1,求证数列{1/(an-1)}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式

题目

已知数列{an}满足a1=3 an*a(n-1)=2a(n-1)-1,求证数列{1/(an-1)}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式
n和(n-1)为下标

答案

要求数列{1/(an-1)}是等差数列即就是要求
1/(an-1)-1/(a(n-1)-1)为一个常数
有1/(an-1)-1/(a(n-1)-1)=
（a(n-1)-an）/[(an-1)*(a(n-1)-1)]
=(a(n-1)-an)/[an*a(n-1)-an-a(n-1)+1]
将an*a(n-1)=2a(n-1)-1代入上式得
（a(n-1)-an）/[2a(n-1)-1-an-a(n-1)+1]
=1
故{1/(an-1)}是等差数列等比为1首相为
1/（a1-1）=1/2,通项为1/2+(n-1)=n-1/2