倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为1cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？

题目

倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为1cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？

答案

如图甲所示：

O′P=6cm，OO′=1cm．如图甲，设水的体积为V₁，容器的总容积为V，则容器尚余容积为VV₁．
由题意得，O′P=6，OO′=1．
∴OP=7，OA²=

49

3

，O′C²=12，
∴V=

1

3

πOA²×7=

7

9

×49π，
V₁=

1

3

πO′C²×6=24π．
∴未放入铁块前容器中尚余的容积为
V-V₁=

7

9

×49π-24π≈44.3cm³．
如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面．
∴MN=4

2

，∴O₁M=2

2

，O₁P=2

6

，∴GM=7-2

6

，
∴正方体位于容器口下的体积为
4×4×（7-2

6

）=112-32

6

≈33.6＜44.3，
∴放入铁块后容器中的水不会溢出．

当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：主要考查知识点：简单几何体和球，考查计算能力，是基础题．