已知函数y=f(x)是函数g(x)=logax(a>0且a≠1)的反函数,且f(1)=2 求f（x）解析式；

题目

已知函数y=f(x)是函数g(x)=logax(a>0且a≠1)的反函数,且f(1)=2 求f（x）解析式；
若b＞0时,f（x）≥b-x在x∈[1,+∞）上恒成立,求b的取值范围

答案

函数y=f(x)是函数g(x)=logax(a>0且a≠1)的反函数
∴ f(x)=a^x
∵ f(1)=2
即 a=2
∴ f(x)=2^x
由已知 2^x≥b-x在x∈[1,+∞）上恒成立,
即 2^x+x≥b在x∈[1,+∞）上恒成立
设h(x)=2^x+x,即h(x)的最小值≥b
∵ y=2^x,y=x都是增函数,
则 h(x)是增函数,
∴ h(x)的最小值为h(1)=2+1=3
∴ b的取值范围是b≤3