△ABC中,D为BC上一点,且AB=AD,求证AC²-AB²=BC·DC

题目

△ABC中,D为BC上一点,且AB=AD,求证AC²-AB²=BC·DC

答案

证明,在AC上找一点E,使AE=AD,延长CA至F,使AF=AE,连接BF
∵△AFB△ABD△ADE都是等腰三角形
∴2∠AED﹢2∠ABD﹢2∠FBA=540-180
∴∠ADE﹢∠ABD﹢∠FBA=180
∴∠ABD﹢∠FBA=180-∠AED=∠DEC,即∠FBD=∠DEC
∴△FBC∽△DEC
∴FC﹕BC=DC﹕EC
FC=AC﹢AD=AC﹢AB,EC=AC‐AE=AC‐AB
∴DC*BC=(AC﹢AB)(AC‐AB)=AC²‐AB²