已知长度相等的三个非零向量abc满足a+b+c=0求每两个向量的夹角

题目

已知长度相等的三个非零向量abc满足a+b+c=0求每两个向量的夹角

答案

【解法一】
由a+b+c=0得a+b=-c,则(a+b)^2=(-c)^2,即a^2+b^2+2a.b=c^2,而已知三向量长度相等,
故a.b=(-1/2)a^2, 设夹角为θ,则cosθ=a•b/(|a||b|)= a•b/a^2=(-1/2)a^2/a^2=-1/2,
得θ=120度．
同理可以求得其它两个夹角也是120°.
【解法二】
利用向量加法的三角形法则,由于三向量长度相等,且和向量为零向量,则将三向量平移到首尾相接,正好形成一个正三角形,故每两个向量的夹角等于120度．