设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)

题目

设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)

答案

证明:因为A是实对称矩阵所以 A 相似于对角矩阵 diag(λ1,λ2,...,λn)其中 λi 是A的特征值.因为相似矩阵有相同的秩,故 r(A) = λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数.由A是实对称矩阵知A^2也是实对称矩阵且A^2的特征值为 ...