已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC． （Ⅰ）求证：BC⊥

题目

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+

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，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由．

答案

（I）如下图所示：由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC∴DE⊥面ABCE．∴DE⊥BC，又BC⊥CE，∴BC⊥面DCE（II）取AB中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．∴面FHG∥面BCD，∴GF∥面BCD．（III）分析可...

（I）由已知中AE⊥CD，垂足为E，DE⊥EC．根据线面垂直的判定定理，我们可得DE⊥面ABCE．由线面垂直的定义，可得DE⊥BC，又由BC⊥CE，由线面垂直的判定定理，我们可以得到BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）取AB中点H，连接GH，FH，由三角形中位线定理，我们易得到GH∥BD，FH∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定义，得到FG∥平面BCD；
（Ⅲ）取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ，根据已知中AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+

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，我们易△BDR，求出RQ，解△CRQ，可得CQ⊥RQ，又由等腰△CBD中，Q为底边BD的中点，得到CQ⊥BD，进而根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．

本题考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．