以下都是当x趋近于x0时,设limf(x)/g(x)=A(A为实数或无穷),而limg(x)=0,试问当x趋近于x0时,f(x)必为无穷小吗?说明理由

题目

以下都是当x趋近于x0时,设limf(x)/g(x)=A(A为实数或无穷),而limg(x)=0,试问当x趋近于x0时,f(x)必为无穷小吗?说明理由

答案

(1)若A为实数,则当x趋近于x0时,f(x)必为无穷小.证明如下：
∵lim[f(x)/g(x)]=A(应该是这样吧——商的极限),而limg(x)=0,
∴limf(x)=lim{[f(x)/g(x)]g(x)}=lim[f(x)/g(x)]×limg(x)=A×0=0,
即当x趋近于x0时,f(x)必为无穷小.
(2)若A为无穷大,则当x趋近于x0时,f(x)未必为无穷小.例如：
g(x)=x,x0=0,f(x)=1满足条件,但f(x)不是无穷小.