已知d^2x/dy^2+(y+sinx)(dx/dy)^3=0是关于x=x(y),试将此方程变换成关于y=y(x)的.

题目

已知d^2x/dy^2+(y+sinx)(dx/dy)^3=0是关于x=x(y),试将此方程变换成关于y=y(x)的.
为什么答案是y''-y=sinx?也就是说为什么x关于y的二阶导和(dx/dy)约分完之后会得到y‘’?thx

答案

y+sinx=-(d^2x/dy^2)/((dx/dy)^3)
dx/dy=x'=1/(dy/dx)=1/y'
等式右边x的二阶导可写为：d(dx/dy)/dy=d(1/(dy/dx))/dy=d(1/y')/dy=(d(1/y')/dx)*(dx/dy)
d(1/y')/dx=-y‘’/(y')^2
等式可化为：
y+sinx=(y''/(y')^2)* (dx/dy)/((dx/dy)^3)
=y''/((y')^2*(dx/dy)^2)
=y''/((dy/dx)^2*(dx/dy)^2)
=y''
即可