设方程x=1+cosα,y=√3+sinα,（α为参数）,表示的曲线为C

题目

设方程x=1+cosα,y=√3+sinα,（α为参数）,表示的曲线为C
（1）求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值
（2）点P为曲线C上的动点,当|OP|最小时（O为坐标原点）,求点P的坐标

答案

(1)设动点P(1+cosα,√3+sinα).
|OP|=√[(1+cosα)^2+(√3+sinα)^2]
=√[1+2cosα+(cosα)^2+3+2√3sinα+(sinα)^2]
=√[4sin(α+π/6)+5]
曲线C上的动点到原点O的距离的最小值是√(-4+5)=1.
(2)当|OP|最小时,sin(α+π/6)=-1,α+π/6=3π/2,α=4π/3.
x=1+cos4π/3=1/2、y=√3+sin4π/3=√3/2.
P点坐标为(1/2,√3/2).