如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合）,一直角边经过点C,另一直角边与AB交与点E,我们知道,结论“Rt三角形AEP∽Rt三角形DPC

题目

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合）,一直角边经过点C,另一直角边与AB交与点E,我们知道,结论“Rt三角形AEP∽Rt三角形DPC”成立.
（1）当AP=1时,求AE的长.
（2）是否存在这样的点P,使三角形DPC的周长等于三角形AEP的周长的2倍?若存在,求出DP的长,若不存在,请说明理由.

答案

（1）AP/AE=DC/DP
AE=9/4
（2）存在
三角形DPC的周长等于三角形AEP的周长的2倍
则Rt三角形AEP∽Rt三角形DPC,相似比为1：2
AP=CD*1/2=2
则DP=8
AE=DP*1/2=4≤AB
E与C重合时,成立