如图,三角形ABC三边AB,AC,BC与内切圆分别切于D,E,F,FG垂直于DE于G,求证：DG/EG=BF/CF

题目

如图,三角形ABC三边AB,AC,BC与内切圆分别切于D,E,F,FG垂直于DE于G,求证：DG/EG=BF/CF

答案

令△ABC的内心为O,连DF、EF分别与BO、CO于M、N.
容易证出：∠BMF＝∠CNF＝90°,FM＝（1/2）DF、FN＝（1/2）EF,∴DF/EF＝FM/FN.
明显有：∠BFM＝∠FEG、∠CFN＝∠FDG.
由∠BMF＝∠FGE＝90°、∠BFM＝∠FEG,得：△BFM∽△FEG,∴BF/EF＝FM/EG.······①
由∠CNF＝∠FGD＝90°、∠CFN＝∠FDG,得：△CFN∽△FDG,∴CF/DF＝FN/DG.······②
①÷②,得：（BF/EF）/（CF/DF）＝（FM/EG）/（FN/DG）,
∴（BF/CF）（DF/EF）＝（FM/FN）（DG/EG）,而DF/EF＝FM/FN,∴DG/EG＝BF/CF.