过定点A(a,b)任作两条互相垂直的直线,分别于x,y轴交于M.N两点,求线段MN中点P的轨迹方程.

题目

过定点A(a,b)任作两条互相垂直的直线,分别于x,y轴交于M.N两点,求线段MN中点P的轨迹方程.
这个题目有点奇怪.2条线能与X,Y轴交4个点啊.怎么确定M.N点是哪里啊?

答案

设过A（a,b）相互垂直的两直线为L1与L2
因为能交四个点,所以分两种情况讨论.
（1）先考虑L1与x轴交于M点,L2与y轴交于N点的情况,求线段MN中点P的轨迹方程
设M(2x,0),N(2y,o).即会有P(x,y),因为三角形MNA和MNO是直角三角形会有AP=MN/2=OP,即有
x^2+y^2=(a-x)^2+(b-y)^2,化简得
2by+2ax-a^2-b^2=0.(其中O为坐标原点）
（2）当L2与x轴交于M点,L1与y轴交于N点时,方法和（1）是一样的.
还有一种复杂一些的解法