如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF. (1)当CE=1时,求△BCE的面积; (2)求证

如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF. (1)当CE=1时,求△BCE的面积; (2)求证

题目
如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.
(1)当CE=1时,求△BCE的面积;
(2)求证:BD=EF+CE.
答案
(1)∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,
∵DC∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∠DAC=∠CAB=
1
2
∠DAB=30°

∵DC∥AB,AD=BC,
∴∠DAB=∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=90°,
∴∠BCE=180°-∠ACB=90°,
∵BE⊥AB,
∴∠ABE=90°,
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°,
在Rt△BCE中,BE=2CE=2,BC=
BE2-CE2
=
3

S△BCE=
1
2
BC•CE=
1
2
×1×
3
=
3
2

(2)证明:过E点作EM⊥DB于点M,
∵∠DAB=60°,DC∥AB,AD=DC=BC,
∴∠DAB=∠CBA=60°,∠CDB=∠CBD=∠DBA=30°,
∴∠ADB=90°,
∴∠FDB=∠F=∠EMD=90°,
∴四边形FDME是矩形,
∴FE=DM,
在△BME和△ECB中
∠EMB=∠ECB
∠MBE=∠BEC
BE=BE

∴△BME≌△ECB(AAS),
∴BM=CE,
∴BD=DM+BM=EF+CE.
(1)先证明∠BCE=90°,∠CBE=30°,△BCE为直角三角形,又CE=1,继而求出BE的长,再根据三角形的面积公式求解即可;
(2)过E点作EM⊥DB于点M,四边形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.

梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

本题考查梯形的性质及全等三角形的判定与性质,难度适中,注意对这些知识的熟练掌握以便灵活运用.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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