过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长

过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长

题目
过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长
答案
令椭圆的左、右焦点分别是F1、F2.
由椭圆方程x^2/5+y^2=1,得:
椭圆以原点为中心,两坐标轴为对称轴,且a=√5、c=√(5-1)=2.
∵AB⊥x轴,∴A、B关于x轴对称,∴AF2=AB/2.
由椭圆的定义,有:AF1+AF2=2a=2√5,∴AF1=2√5-(AB/2),
∴AF1^2=20-2√5AB+AB^2/4.
由勾股定理,有:AF1^2=AF2^2+F1F2^2=(AB/2)^2+(2c)^2=AB^2/4+16,
∴20-2√5AB+AB^2/4=AB^2/4+16,∴2√5AB=20-16=4,∴AB=2/√5=2√5/5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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