已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a,b; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
题目
已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},
(1)求a,b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
答案
(1)因为不等式ax
2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x
1=1与x
2=b是方程ax
2-3x+2=0的两个实数根,
且b>1.由根与系的关系得
,解得
,所以得
.
(2)由于a=1且 b=2,所以不等式ax
2-(ac+b)x+bc<0,
即x
2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};
②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};
③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.
综上所述:当c>2时,不等式ax
2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};
当c<2时,不等式ax
2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};
当c=2时,不等式ax
2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.
(1)一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根,再利用一元二次方程根与系数的关系解出a,b.
(2)先把一元二次不等式变形到(x-2)(x-c)<0,分当c>2时、当c<2时、当c=2时,三种情况求出此不等式的解集.
一元二次不等式的解法.
本题考查一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.
举一反三
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