设n为正整数,证明：数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子

题目

设n为正整数,证明：数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子
式子是2的（2的n次方）的次方，加上2的（2的n-1的次方）的次方，再加上1

答案

设a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1,b(n) = 2^(2^n) - 2^(2^(n-1)) + 1,
则a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1
= 2^(2^n) + 2 * 2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-1))
= (2^(2^(n-1)) + 1)^2 - (2^(2^(n-2)))^2
= (2^(2^(n-1)) + 1 + 2^(2^(n-2)))*(2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-2)))
= a(n - 1) * b(n - 1)．
故a(n) = a(n - 1) * b(n - 1)= a(n - 2) * b(n - 2) * b(n - 1)
= ...= a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)．
显然a(n) > 1,b(1),...,b(n - 1) > 1,所以a(1),b(1),...,b(n - 1)都有素因子．
因为a(n) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1)),
即a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1))．
而a(1),b(1),...,b(n - 1),b(n)都是奇数,
故乘积a(1)b(1)...b(n - 1)与b(n)互素．
因此a(1),b(1),...,b(n - 1)中的每一个都与b(n)互素．
这说明对于{b(n)}中的任意两项b(k)与b(j),b(k)与b(j)都没有公共的素因子．
而且,{b(n)}中的每项b(k)与a(1)也都没有公共的素因子．
故a(1),b(1),...,b(n - 1)中任意两个所包含的素因子都是不同的．
所以,他们的乘积a(n) = a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)至少包含n个不同的素因子．