如图，A，B，C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，CD交于G． （1）求证：AE=CD； （2）求证：△BFG是等边三角形．

题目

如图，A，B，C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，CD交于G．

（1）求证：AE=CD；
（2）求证：△BFG是等边三角形．

答案

证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBE═60°，AB=DB，CB=EB．
∴∠ABD+∠EBD=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠DBC．
∵A，B，C在同一直线上，
∴∠ABC=180°，
∴∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠EBD．
在△AEB和△DCB中，

AB＝DB ∠ABE＝∠DBC CB＝EB

，
∴△AEB≌△DCB（SAS），
∴AE=CD．
（2）∵△AEB≌△DCB，
∴∠EAB=∠CDB．
在△DBG和△ABF中，

∠EAB＝∠CDB AB＝DB ∠DBE＝∠ABF

，
∴△DBG≌△ABF（ASA），
∴BG=BF．
∵∠DBE=60°，
∴△BFG是等边三角形．

（1）根据等边三角形的性质就可以得出△AEB≌△DCB，就可以得出结论；
（2）通过证明△DBG≌△ABF，就可以得出BG=BF，由∠DBE=60°就可以得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．