已知ABCD是矩形,PD⊥面ABCD,PD=DC=a,AD=根号二a,M、N分别是AD、PB的中点,

题目

已知ABCD是矩形,PD⊥面ABCD,PD=DC=a,AD=根号二a,M、N分别是AD、PB的中点,
求点A到平面MNC的距离

答案

如图 PD=DC=a,所以PC=a*根号2 PD⊥面ABCD,所以PD⊥BC,所以BC⊥面PDC,所以BC⊥PC,△PBC是等腰直角△； N为PB中点,PB⊥CN； △ DCM和△CBD为直角三角形,DC/DM=根号2=BC/CD； △ DCM相似于△CBD； 所以∠CDB=∠DMC,所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD,所以CO⊥OD；又CO⊥DP,所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB 所以PB⊥面MNC 作直线AR‖CM交DB于R,RQ‖ON交PB于Q；知面MNC‖ARQ； A到平面MNC的距离就是 Q点到平面MNC的距离,也即是QN的长度； CN=BN=a； OD=BR=a/根号3； OR= a/根号3； 所以NQ=a/2 所以A到平面MNC的距离a/2