已知函数f(x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数x1,x2,恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)

题目

已知函数f(x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数x1,x2,恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
求证,f(x)在(0,+无穷)上是增函数.
解不等式f(2x-4)

答案

证明：
设Δx>0、x1>0,x2=x1(1+Δx),则x2>x1,f(1+Δx)>0
那么,f(x2)=f(x1(1+Δx))=f(x1)+f(1+Δx)
f(x2)-f(x1)=f(1+Δx)>0
∴ f(x)在(0,+∞)上是增函数
①在(0,+∞)上
∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(2x-4)