若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0，满足f(xy)＝f(x)−f(y)，则不等式f(x+6)−f(1x)＜2f(4)的解为（　　） A.（-8，2） B.（2，8）

题目

若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0，满足f(

x

y

)＝f(x)−f(y)

答案

∵对一切x＞0，y＞0满足f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴对一切x＞0，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），且f（1）=0，
∴f（x+6）-f（

1

x

）＜2f（4）变形为：f（x+6）+f（x）＜f（16），
即f[x（x+6）]＜f（16），又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴x（x+6）＜16，即（x-2）（x+8）＜0，
解得：-8＜x＜2，又x＞0，
则所求不等式的解集为（0，2）．
故选C