若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f(xy)=f(x)−f(y),则不等式f(x+6)−f(1x)<2f(4)的解为( ) A.(-8,2) B.(2,8)
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若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f(xy)=f(x)−f(y),则不等式f(x+6)−f(1x)<2f(4)的解为( ) A.(-8,2) B.(2,8)
题目
若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足
f(
x
y
)=f(x)−f(y)
答案
∵对一切x>0,y>0满足f(
x
y
)=f(x)-f(y),
∴对一切x>0,y>0满足f(x)+f(y)=f(x•y),且f(1)=0,
∴f(x+6)-f(
1
x
)<2f(4)变形为:f(x+6)+f(x)<f(16),
即f[x(x+6)]<f(16),又函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴x(x+6)<16,即(x-2)(x+8)<0,
解得:-8<x<2,又x>0,
则所求不等式的解集为(0,2).
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