如图所示，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2． （1）求二面角B-AF-D的大小； （2）求四棱锥E-ABCD与四棱

题目

如图所示，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=

2

．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．

（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

答案

（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角．
由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=

π

4

，OG=

2

2

．
由OB⊥OG，OB=OD=

2

2

，得∠BGD=2∠BGO=

π

2

．
（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，
则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD．
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．
由

HP

CF

+

HP

AE

=

AP

AC

+

PC

AC

=1，得HP=

2

3

．
又因为S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=

2

，
故四棱锥H-ABCD的体积V=

1

3

S_菱形ABCD•HP=

2 2

9

．

（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B-AF-D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；
（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=

1

3

S_菱形ABCD•HP求解即可．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．