若a,b,c,是不全相等的正数,求证：lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2＞lga+lgb+lgc

题目

若a,b,c,是不全相等的正数,求证：lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2＞lga+lgb+lgc

答案

证明：b≥2√ab
a+c≥2√a
c+b≥2√bc
因为a、b、 c是不全相等,所以上面三个式不能同时取等号,即
(a+b)(b+c)(a+c)>8ab√ac√bc=8abc
[(a+b)/2][(a+c)/2][(a+c)/2]>abc
lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(a+c)/2>lga+lgb+lgc