已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tanA的值.
题目
已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC.
(1)求角B的大小;
(2)若c=3a,求tanA的值.
答案
(1)∵sin
2A+sin
2C-sin
2B=sinAsinC,
∴根据正弦定理,得a
2+c
2-b
2=ac
因此,cosB=
=
∵B∈(0,π),∴B=
,即角B的大小为
;
(2)∵c=3a,∴根据正弦定理,得sinC=3sinA
∵B=
,
∴sinC=sin(A+B)=sin(A+
)=3sinA
可得
sinA+
cosA=3sinA,得
cosA=
sinA
两边都除以cosA,得
=
tanA,所以tanA=
.
(1)根据正弦定理,将已知等式化简得a
2+c
2-b
2=ac,结合余弦定理算出cosB=
,从而可得角B的大小为
;
(2)由c=3a结合正弦定理,得sinC=3sinA,而sinC=sin(A+B),将B=
代入展开并化简得
cosA=
sinA,最后根据同角三角函数的商数关系,可算出tanA的值.
正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用.
本题给出三角形的三个角的正弦的关系式,求角B的大小并在c=3a的情况下求tanA的值.着重考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识,属于中档题.
举一反三
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