已知3sinβ=sin(2α+β),(1)求证tan(α+β)=2tanα ,(2)求：tanβ的最大值.

题目

已知3sinβ=sin(2α+β),(1)求证tan(α+β)=2tanα ,(2)求：tanβ的最大值.
第一小问会了,主要是第二小问.
导数还没学到，怎么办？

答案

3sinβ=sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ
两边同时除以cosβ
tanβ=sin2α/(3-cos2α)
令2α=x
y=tanβ=sinx/(3-cosx)
求导
y'=(3cosx-1)/(3-cosx)^2,限定x的范围在1个周期内
显然cos=1/3,即sinx=2sqrt2/3时,tanβ最大
最大为sqrt2/4