设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,求证:ξ是A^n的属于特征值λ^n的一个特征向量

题目

设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,求证:ξ是A^n的属于特征值λ^n的一个特征向量

答案

n=1.Aξ=λξ.
设n≤k时命题成立：A^mξ=λ^mξ.（m=1,2,……,k）
看n=k+1.
A^（k+1）ξ=A（A^kξ）=A（λ^kξ）=λ^k（Aξ）=λ^k（λξ）=λ^（k+1）ξ.
即n=k+1时,命题也成立.归纳完成.
对每个自然数n.ξ是A^n的属于特征值λ^n的一个特征向量.