四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA＝2∠DBA＝60°,PD⊥底面ABCD.

题目

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA＝2∠DBA＝60°,PD⊥底面ABCD.
（1）证明：PA⊥BD.
（2）设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

答案

(1)∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥BD∵∠DAB=60º,且AB=2AD∴AD⊥BD∵AD∈平面PAD,PD∈平面PAD,PD交AD于点D∴BD⊥平面PAD∴BD⊥PA(2)∵ABCD是平行四边行∴∠DBC=∠ADB=90º∴CB⊥BDAB=CD=2,BC=AD=1,BD=√(2²-1²)=√3S△DBC=(BD*CB)/2=√3/2PB=√(PD²+BD²)=2∵CB⊥BD,PD∈平面BDP,BP∈平面BDP,PD交BD于点D∴CB⊥平面BDP∴CB⊥PBS△PBC=(CB*PB)/2=1设棱锥D-PBC的高为h∵棱锥D-PBC的体积=棱锥P-DBC的体积∴1/3*S△PBC*h=1/3*S△DBC*1即1/3*1*h=1/3*√3/2*1解得h=√3/2