台体体积公式是怎么证明的?

题目

台体体积公式是怎么证明的?
V台体=1/3h(S上+√(S下*S上)+S下) 这个是如何证明的?最好是一般情况

答案

将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得 一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体 积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1) 现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥 P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.两边同时开平方并取正值得 √S/√S'=(H+X)/X 依分比定理有 (√S-√S')/√S'=H/X 将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得 (S-S')/[S'+√(SS')]=H/X 故X=H[S'+√(SS')]/(S-S').(2) 将(2)代入(1)式的右边并整理,即得 v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]