已知函数f(x),g(x)同时满足:g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y);f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,求g(0),g(1),g(2)的值.
题目
已知函数f(x),g(x)同时满足:g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y);f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,求g(0),g(1),g(2)的值.
答案
由题设条件,令x=y=0,则有
g(0)=g2(0)+f2(0)
又f(0)=0,故g(0)=g2(0)
解得g(0)=0,或者g(0)=1
若g(0)=0,令x=y=1得g(0)=g2(1)+f2(1)=0
又f(1)=1知g2(1)+1=0,此式无意义,故g(0)≠0
此时有g(0)=g2(1)+f2(1)=1
即 g2(1)+1=1,故g(1)=0
令x=0,y=1得g(-1)=g(0)g(1)+f(0)f(-1)=0
令x=1,y=-1得g(2)=g(1)g(-1)+f(1)f(-1)=-1
综上得g(0)=1,g(1)=0,g(2)=-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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