用勾股定理定理证明射影定理

题目

用勾股定理定理证明射影定理
在RT△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D.能不能只用面积推导的关系：AB*AC=AD*BC和勾股定理（不用相似）来证明：AB^2=BD*BC?

答案

在三角形ABC中,设AB=c,AC=b,BC=a,AD=d.
则a²=b²+c²,bc=ad,c＞d,a＞c
即求证c²=√（c²-d²）*a,
逆推,两边平方,移项,c^4 / a²=c²-d²
逆推,代入d=bc/a,c^4 / a²=c²-b²c²/a²
逆推,代入b²=a²-c²,c^4 / a²=c²-（a²-c²）c²/a²
逆推,化简,左边等于右边.
则原等式成立.即AB^2=BD*BC
亦可顺过来证明,从c²/a写起.